Question

12．若正数x，y满足2x²-xy+2y²=x+y+1，则x+y的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{2}{3}$，2]
• B． （0，2]
• C． （$\frac{1}{2}$，2]
• D． （1，2]

Answer 1

分析 令x+y=t，则y=t-x，代入已知方程并整理可化原问题为关于x的一元二次方程5x²-5tx+2t²-t-1=0有正根，解关于t的不等式组可得．

解答 解：令x+y=t，则t＞0，y=t-x，
代入已知方程可得2x²-x（t-x）+2（t-x）²=t+1，
整理可得5x²-5tx+2t²-t-1=0，
问题转化为关于x的一元二次方程5x²-5tx+2t²-t-1=0有正根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=25{t}^{2}-20（2{t}^{2}-t-1）≥0}\\{x=-\frac{-5t}{2×5}＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{5}（2{t}^{2}-t-1）＞0}\end{array}\right.$，
解不等式组可得1＜t≤2，
故选：D．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及一元二次方程根的存在性，属中档题．