Question

20．已知平面α∥β∥γ，A、C∈α，B、D∈γ，异面直线AB和CD分别与β交于E和G，连结AD和BC分别交β于F、H．
（1）求证：$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CG}{GD}$；
（2）判断四边形EFGH是哪一类四边形；
（3）若AC=BD=a，求四边形EFGH的周长．

Answer 1

分析 （1）由面面平行的性质定理，得出EH∥AC，EF∥BD，从而证明$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CH}{HB}$=$\frac{CG}{GD}$；
（2）由平行四边形的定义即可判断四边形EFGH是平行四边形；
（3）AC=BD=a时，四边形EFGH是菱形，且边长为$\frac{1}{2}$a，求出它的周长即可．

解答 解：（1）证明：如图所示，
平面α∥β∥γ，A、C∈α，∴AC?平面α，同理EH?平面β，
∴EH∥AC，∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CH}{HB}$；
同理$\frac{CG}{GD}$=$\frac{CH}{HB}$，
∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CG}{GD}$；
（2）四边形EFGH是平行四边形，理由如下；
由（1）知，EH∥AC，同理FG∥AC，∴EH∥FG；
同理EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形；
（3）当AC=BD=a时，$\frac{EH}{AC}$=$\frac{BE}{BA}$，$\frac{AE}{AB}$=$\frac{EF}{BD}$；
∴AE=EB，EH=EF=$\frac{1}{2}$a，
∴四边形EFGH的周长为4×$\frac{1}{2}$a=2a．

点评 本题考查了面面平行的性质定理的应用问题，解题时应注意空间中的线面平行的互相转化，是综合性题目．