Question

7．定义在[-1，1]上单调递增的函数f（x）满足f（1）=2，若$\frac{1}{2}$f（x）≤m²+2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，则实数m的取值范围为m≥2或m≤-2或m=0．

Answer 1

分析 由条件先判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式转化f（x）_min≤t²-2at-1成立，构造函数g（a）即可得到结论．

解答 解：∵函数f（x）在[-1，1]上单调递增，f（1）=2，
∴f（x）的最小值为f（-1）=-f（1）=-2，最大值为f（1）=2，
若$\frac{1}{2}$f（x）≤m²+2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即m²+2am+1≥$\frac{1}{2}×2$=1对所有a∈[-1，1]恒成立，
∴m²+2am≥0对所有a∈[-1，1]恒成立，
设g（a）=m²+2am=2ma+m²，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{g（1）={m}^{2}+2m≥0}\\{g（-1）={m}^{2}-2m≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m≥0或m≤-2}\\{m≥2或m≤0}\end{array}\right.$，
∴m≥2或m≤-2或m=0．
故答案为：m≥2或m≤-2或m=0．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件转化为函数最值恒成立，以及转化为以a为变量的函数是解决本题的关键．综合考查函数的性质．