Question

19．设各项为正数等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁=2，S₃=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=a_n•log₂a_n，求{b_n}的通项公式；
（3）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，从而可得S₃=a₁（1+q+q²）=14，从而解得；
（2）代入a_n=2ⁿ化简即可；
（3）利用错位相减法求和即可．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
则a₁=S₁=2，S₃=a₁（1+q+q²）=14，
解得，q=2或q=-3（舍去）；
故a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）∵a_n=2ⁿ，
∴b_n=a_n•log₂a_n=n•2ⁿ；
（3）T_n=2+2•2²+3•2³+4•2⁴+5•2⁵+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+4•2⁵+5•2⁶+…+n•2ⁿ⁺¹，
两式作差可得，
T_n=-2-2²-2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
=-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+n•2ⁿ⁺¹
=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了等比数列的性质的应用及错位相减法的应用．