Question

14．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x²，则2f（x）-f（$\sqrt{2}$x）=0；若对任意的x∈[a，a+1]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，则实数a的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，分x≥0，x＜0计算2f（x）-f（$\sqrt{2}$x），有第一问得出2f（x）=f（$\sqrt{2}x$），利用函数的单调性得出不等式恒成立，使用函数恒成立的解题方法计算a的范围．

解答 解：∵f（x）是奇函数，x≥0时，f（x）=x²，
∴当x＜0时，f（x）=-x²．
∴当x≥0时，2f（x）-f（$\sqrt{2}x$）=2x²-2x²=0，
当x＜0时，2f（x）-f（$\sqrt{2}x$）=-2x²-（-2x²）=0．
∴2f（x）-f（$\sqrt{2}$x）=0．
∵2f（x）=f（$\sqrt{2}x$），
∴f（x+a）≥2f（x）恒成立?f（x+a）≥f（$\sqrt{2}$x）恒成立．
∵f（x）是增函数，
∴x+a≥$\sqrt{2}x$在[a，a+1]上恒成立．
∴a≥（$\sqrt{2}-1$）x，x∈[a，a+1]．
令g（x）=（$\sqrt{2}-1$）x，则g（x）在[a，a+1]上是增函数．
∴g_max（x）=g（a+1）=$\sqrt{2}a-a+\sqrt{2}-1$．
∴a≥$\sqrt{2}a-a+\sqrt{2}-1$，解得a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：0，[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，函数单调性的应用，属于中档题．