Question

2．已知α，β为锐角，且$\frac{sinβ}{sinα•cos（α+β）}$=λ，求证：tanβ=$\frac{λtanα}{1+（1+λ{）tan}^{2}α}$．

Answer 1

分析 将λ=$\frac{sinβ}{sinα•cos（α+β）}$代入右边式子化简即可．

解答 证明：∵$\frac{sinβ}{sinα•cos（α+β）}$=λ，
∴λtanα=$\frac{sinβ}{sinα•cos（α+β）}$$•\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{sinβ}{cosαcos（α+β）}$．
1+（1+λ）tan²α=1+$\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$+$\frac{sinβ}{cosαcos（α+β）}$•$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{co{s}^{2}αcos（α+β）+si{n}^{2}αcos（α+β）+sinαsinβ}{co{s}^{2}αcos（α+β）}$=$\frac{cos（α+β）+sinαsinβ}{co{s}^{2}αcos（α+β）}$．
∴$\frac{λtanα}{1+（1+λ{）tan}^{2}α}$=$\frac{sinβ}{cosαcos（α+β）}$•$\frac{co{s}^{2}αcos（α+β）}{cos（α+β）+sinαsinβ}$=$\frac{cosαsinβ}{cosαcosβ}$=tanβ．
∴tanβ=$\frac{λtanα}{1+（1+λ{）tan}^{2}α}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，熟练掌握三角公式是解题关键．