Question

3．在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]
• B． （0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• C． [$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• D． [$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]

Answer 1

分析 由已知设M（x，-$\frac{a}{2}$），N（x，$\frac{a}{2}$），?代入椭圆方程，得N（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，$\frac{a}{2}$），由α为直线ON的倾斜角，得cotα=$\frac{\sqrt{3}b}{a}$，由此能求出椭圆C的离心率的取值范围．

解答 解：∵OP在y轴上，且平行四边形中，MN∥OP，
∴M、N两点的横坐标相等，
纵坐标互为相反数，即M，N两点关于x轴对称，MN=OP=a，
可设M（x，-$\frac{a}{2}$），N（x，$\frac{a}{2}$），?
代入椭圆方程得：|x|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，得N（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，$\frac{a}{2}$），
α为直线ON的倾斜角，tanα=$\frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}b}$=$\frac{a}{\sqrt{3}b}$，cotα=$\frac{\sqrt{3}b}{a}$，
α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，∴1≤cotα=$\frac{\sqrt{3}b}{a}$≤$\sqrt{3}$，
$\frac{\sqrt{3}}{3}≤\frac{b}{a}≤1$，∴$\frac{1}{3}≤\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}≤1$，
∴0＜e=$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}}$≤$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴椭圆C的离心率的取值范围为（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]．
故选：A．

点评 本题旨在考查解析几何椭圆的离心率问题．考查数形结合和运算能力，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．