Question

8．设函数$f（x）=3sin（{ωx+\frac{π}{6}}）（{ω＞0}）$，且以$\frac{π}{2}$为最小正周期．
（1）求f（0）； 
（2）求f（x）的解析式； 
（3）设$α∈（{0，\frac{π}{2}}）$，则$f（{\frac{α}{2}}）=\frac{3}{2}$，求α的值．

Answer 1

分析 （1）由题意直接求得f（0）的值．
（2）根据f（x）的周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式．
（3）根据题意求得sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．再根据2α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），可得2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，从而求得α的值．

解答 解：（1）函数$f（x）=3sin（{ωx+\frac{π}{6}}）（{ω＞0}）$，∴f（0）=3sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3}{2}$．
（2）由于f（x）以$\frac{π}{2}$为最小正周期，∴$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=4，
∴f（x）=3sin（4x+$\frac{π}{6}$）．
（3）设$α∈（{0，\frac{π}{2}}）$，则$f（{\frac{α}{2}}）=\frac{3}{2}$=3sin（2α+$\frac{π}{6}$），∴sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
再根据2α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），可得2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
∴α=$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性，根据三角函数的值求角，属于基础题．