Question

18．函数y=（sinx-2）（cosx-2）的值域是（　　）

• A． [$\frac{9}{2}$-2$\sqrt{2}$，$\frac{9}{2}$+2$\sqrt{2}$]
• B． [$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$+2$\sqrt{2}$]
• C． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． [$\frac{9}{2}$-2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可得sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，y=$\frac{1}{2}$（t-2）²+$\frac{3}{2}$，再利用二次函数的性质求得它的值域．

解答 解：函数y=（sinx-2）（cosx-2）=sinx•cosx-2（sinx+cosx）+4，
令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可得sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
y=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$-2t+4=$\frac{1}{2}$（t²-4t+4）+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（t-2）²+$\frac{3}{2}$，
故当t=$\sqrt{2}$时，函数y取得最小值为$\frac{9}{2}$-2$\sqrt{2}$，当t=-$\sqrt{2}$时，函数y取得最大值为$\frac{9}{2}$+2$\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查同角三角的基本关系，二次函数的性质，属于中档题．