Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（{a＞1}）$的左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），P为椭圆C上任意一点，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$最小值为0．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若动直线l₂，l₂均与椭圆C相切，且l₁∥l₂，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B到l₁，l₂的距离之积恒为1？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设P（x，y），由$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$最小值为0，得1-c²=0，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）当直线l₁，l₂斜率存在时，设其方程为y=kx+m，y=kx+n，把l₁的方程代入椭圆方程，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，由直线l₁与椭圆C相切，得m²=1+2k²，同理，n²=1+2k²，从而求得t=±1，由此能求出满足题意的定点B的坐标．

解答 解：（Ⅰ）设P（x，y），则有$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（x+c，y），$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（x-c，y），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=x²+y²-c²=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}{x}^{2}+1-{c}^{2}$，x∈[-a，a]，
由$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$最小值为0，得1-c²=0，
∴c=1，a²=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）当直线l₁，l₂斜率存在时，设其方程为y=kx+m，y=kx+n，
把l₁的方程代入椭圆方程，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，
∵直线l₁与椭圆C相切，∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，
化简，得m²=1+2k²，
同理，n²=1+2k²，
∴m²=n²，若m=n，则${{l}_{1}}^{\;}，{l}_{2}$重合，不合题意，∴m=-n，
设在x轴上存在点B（t，0），点B到直线l₁，l₂的距离之积为1，
则$\frac{|kt+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}•\frac{|kt-m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即|k²t²-m²|=k²+1，
把1+2k²=m²代入并去绝对值整理，得：
k²（t²-3）=2或k²（t²-1）=0，
前式不恒成立，而要使得后对任意的k∈R恒立，
则t²-1=0，解得t=±1．
当直线l₁，l₂的距离之积为（$\sqrt{2}-1$）（$\sqrt{2}+1$）=1，
定点（1，0）到直线l₁，l₂的距离之积为（$\sqrt{2}+1$）（$\sqrt{2}-1$）=1，
综上所述，满足题意的定点B为（-1，0）或（1，0）．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线与椭圆相切、向量数量积的合理运用．