Question

13．设x₁、x₂是方程x²+3$\sqrt{3}$x+4=0的两根，求arctanx₁+arctanx₂的值．

Answer 1

分析 由条件利用韦达定理求得x₁+x₂ =-3$\sqrt{3}$，x₁•x₂=4，再利用两角和的正切公式求得tan（arctanx₁+arctanx₂）的值，可得arctanx₁+arctanx₂ 的值．

解答 解：由x₁、x₂是方程x²+3$\sqrt{3}$x+4=0的两根，可得x₁+x₂ =-3$\sqrt{3}$，x₁•x₂=4，
故x₁、x₂均小于零，故arctanx₁+arctanx₂∈（-π，0），
且tan（arctanx₁+arctanx₂）=$\frac{{tan（arctanx}_{1}{）+tan（arctanx}_{2}）}{1-tan（arcta{nx}_{1}）•tan（arcta{nx}_{2}）}$=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{1{-x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴arctanx₁+arctanx₂=-$\frac{2π}{3}$．

点评 本题主要考查韦达定理，两角和的正切公式，属于中档题．