Question

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，满足$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$（x，y∈R），则x+y=$\frac{13}{5}$．

Answer 1

分析 作出图形，取单位向量$\overrightarrow{i}，\overrightarrow{j}$，从而可用$\overrightarrow{i}，\overrightarrow{j}$分别表示出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$，再由$\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$，根据平面向量基本定理即可建立关于x，y的二元一次方程组，解出x，y，从而得出x+y的值．

解答 解：如图，取单位向量$\overrightarrow{i}，\overrightarrow{j}$，则：

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}$；
∴$\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}=x（\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}）+y（2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}）$=$（x+2y）\overrightarrow{i}+（2x-y）\overrightarrow{j}$；
∴由平面向量基本定理得，$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=3}\\{2x-y=4}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{11}{5}}\\{y=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$；
∴$x+y=\frac{13}{5}$．
故答案为：$\frac{13}{5}$．

点评 考查向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，以及平面向量基本定理．