Question

16．已知P是圆x²+y²=36的圆心，R是椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$上的一动点，且满足$\overrightarrow{PR}=3\overrightarrow{PQ}$．
（1）求动点Q的轨迹方程
（2）若直线y=x+1与曲线Q相交于A、B两点，求弦AB的长度．

Answer 1

分析 （1）由已乔得P（0，0），R（3cosθ，$\sqrt{3}sinθ$），设Q（x，y），由$\overrightarrow{PR}=3\overrightarrow{PQ}$，能求出动点Q的轨迹方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得2x²+3x+1=0，由此能求出弦AB的长度．

解答 解：（1）∵P是圆x²+y²=36的圆心，R是椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$上的一动点，
∴P（0，0），R（3cosθ，$\sqrt{3}sinθ$），
设Q（x，y），∵$\overrightarrow{PR}=3\overrightarrow{PQ}$，
∴（3cosθ，$\sqrt{3}sinθ$）=（3x，3y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3cosθ=3x}\\{\sqrt{3}sinθ=3y}\end{array}\right.$，∴x²+3y²=1，
∴动点Q的轨迹方程为x²+3y²=1．
（2）直线y=x+1与曲线Q相交于A、B两点，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得2x²+3x+1=0，
△=9-8=1，
解得${x}_{1}=-\frac{1}{2}$，y₁=$\frac{1}{2}$；x₂=-1，y₂=0，
∴弦AB的长度|AB|=$\sqrt{（-\frac{1}{2}+1）^{2}+（\frac{1}{2}-0）^{2}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用．