Question

1．将${（{x+\frac{4}{x}-4}）^3}$展开后，常数项是-160．

Answer 1

分析 根据${（{x+\frac{4}{x}-4}）^3}$=${（\frac{{x}^{2}+4-4x}{x}）}^{3}$=$\frac{{（x-2）}^{6}}{{x}^{3}}$，求出它的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．

解答 解：${（{x+\frac{4}{x}-4}）^3}$=${（\frac{{x}^{2}+4-4x}{x}）}^{3}$=$\frac{{（x-2）}^{6}}{{x}^{3}}$，它的通项公式为T_r+1=$\frac{{C}_{6}^{r}{•（-2）}^{r}{•x}^{6-r}}{{x}^{3}}$=（-2）^r•${C}_{6}^{r}$•x^3-r，
令3-r=0，求得r=3，所以常数项是$C_6^3{（-2）^3}=-160$．
故答案为：-160．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，把二项式进行变形，是解题的关键，属于中档题．