Question

20．若2cos2α=sin（$\frac{π}{4}$-α），且α∈（$\frac{π}{2}$，π），则sin2α的值为（　　）

• A． -$\frac{7}{8}$
• B． -$\frac{\sqrt{15}}{8}$
• C． 1
• D． $\frac{\sqrt{15}}{8}$

Answer 1

分析 由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα-sinα，或 cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．

解答 解：∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），且2cos2α=sin（$\frac{π}{4}$-α），
∴2（cos²α-sin²α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ cosα-sinα），
∴cosα+sinα=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，或 cosα-sinα=0（根据角的取值范围，此等式不成立排除）．
∵cosα+sinα=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，则有1+sin2α=$\frac{1}{8}$，sin2α=$-\frac{7}{8}$．
故选：A．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，考查了两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式的应用，属于中档题．