Question

7．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD=$\frac{π}{3}$，AB=2，CD=3，M为PC上一点，PM=2MC．
（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）若AD=2，PD=3，求二面角D-MB-C的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明BM∥平面PAD；
（Ⅱ）若AD=2，PD=3，建立空间直角坐标系求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角D-MB-C的正弦值

解答 证明：（1）在DC上取点E，使DE=2，
则DE∥AB，DE=AB，
则四边形ABED是平行四边形，
则EB∥AD，
∵$\frac{PM}{MC}=\frac{DE}{EC}=2$，∴PD∥ME，
则平面PAD∥平面MBE，
∵BM?平面MBE，BM?平面PAD，
∴BM∥平面PAD
（2）△ABD是正三角形，建立以D为坐标原点的空间直角坐标系如图：
则B（$\sqrt{3}$，1，0），P（0，0，3），C（0，3，0），M（0，2，1），
$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{DM}$=（0，2，1），
设平面DBM的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{DB}$=$\sqrt{3}$x+y=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{DM}$=2y+z=0，得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x}\\{z=-2y}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=-$\sqrt{3}$，z=2$\sqrt{3}$则$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
设平面MBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，2，0），$\overrightarrow{MC}$=（0，1，-1），
则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BC}$=-$\sqrt{3}$x+2y=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{MC}$=y-z=0，
令x=2，则y=$\sqrt{3}$，z=$\sqrt{3}$，
即$\overrightarrow{n}$=（2，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2-3+6}{4×\sqrt{10}}=\frac{5}{4\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，
则二面角D-MB-C的正弦值sinα=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{8}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$．

点评 本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．