Question

19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心在原点，经过点A（0，1），其左、右焦点分别为F₁、F₂，且$\overrightarrow{A{F}_{1}}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点（-$\sqrt{3}$，0）的直线l与椭圆E有且只有一个公共点P，且与圆O：x²+y²=r²（r＞0）相切于点Q，求r的值及△OPQ的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由椭圆E经过点A（0，1），$\overrightarrow{A{F}_{1}}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0，求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）设直线l：y=k（x+$\sqrt{3}$），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+\sqrt{3}）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+4$\sqrt{3}{k}^{2}$x+6k²-2=0，由此利用根的判别式、直线与圆相切、两点间距离公式，结合已知条件能求出r的值及△OPQ的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心在原点，其左、右焦点分别为F₁、F₂，
∴设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵椭圆E经过点A（0，1），∴b=1，
∵$\overrightarrow{A{F}_{1}}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0，且AF₁=AF₂，
∴b=c=1，∴a²=1+1=2，
∴椭圆E的方程是$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）设直线l：y=k（x+$\sqrt{3}$），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+\sqrt{3}）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
整理，得（2k²+1）x²+4$\sqrt{3}{k}^{2}$x+6k²-2=0，①
∴$△=（4\sqrt{3}{k}^{2}）^{2}-4（2{k}^{2}+1）（6{k}^{2}-2）=8（1-{k}^{2}）$，
∵直线l与椭圆相切，∴△=0，解得k=±1，
代入方程①中，得到$3{x}^{2}+4\sqrt{3}x+4=0$，解得x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
代入直线l的方程中，得y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，即P（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$±\frac{\sqrt{3}}{3}$），
又∵直线l与圆x²+y²=r²相切，∴r=$\frac{|\sqrt{3}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵|OP|=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{3}}$，
∴|PQ|=$\sqrt{|OP{|}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
S_△OPA=$\frac{1}{2}×|PQ|×r=\frac{1}{4}$．

点评 本题通过椭圆的定义及几何性质、圆与椭圆方程、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查无实据数形结合及函数与方程的思想方法，考查考生推理运算及空间想象能力．