Question

7．如图，椭圆$W：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，其左顶点A在圆O：x²+y²=16上．
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）直线AP与椭圆W的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．是否存在直线AP，使得$\frac{|PQ|}{|AP|}=3$？若存在，求出直线AP的斜率；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由A在圆上，可得a=4，再由离心率公式，可得c，结合a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）求得圆心到直线的距离，运用圆的弦长公式可得|QA|，化简整理，即可判断是否存在．

解答 解：（Ⅰ）因为椭圆W的左顶点A在圆O：x²+y²=16上，所以a=4．
又离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以$c=2\sqrt{3}$，
则b²=a²-c²=4，所以W的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$．
（Ⅱ）设直线AP的方程为y=k（x+4），
代入椭圆方程可得（1+4k²）x²+32k²x+64k²-16=0，
由-4x_P=$\frac{64{k}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}$，可得x_P=$\frac{4-16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
即有|AP|=$\frac{8}{1+4{k}^{2}}$，
圆心到直线AP的距离为$d=\frac{|4k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
所以$|AQ|=2\sqrt{16-{d^2}}=2\sqrt{\frac{16}{{1+{k^2}}}}=\frac{8}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$．
因为$\frac{|PQ|}{|AP|}=\frac{|AQ|-|AP|}{|AP|}=\frac{|AQ|}{|AP|}-1$，
代入得到$\frac{|PQ|}{|AP|}=\frac{{\frac{8}{{\sqrt{1+{k^2}}}}}}{{\frac{{8\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+4{k^2}}}}}-1=\frac{{1+4{k^2}}}{{1+{k^2}}}-1=\frac{{3{k^2}}}{{1+{k^2}}}=3-\frac{3}{{1+{k^2}}}$．
显然$3-\frac{3}{{1+{k^2}}}≠3$，
所以不存在直线AP，使得$\frac{|PQ|}{|AP|}=3$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查存在性问题的解法，注意运用点到直线的距离公式和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．