Question

11．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{64}$-$\frac{{y}^{2}}{36}$=1的左右焦点分别为F₁，F₂，双曲线C上一点P到右焦点F₂的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差数列，O为坐标原点，则点O到直线PF₂的距离为（　　）

• A． $\frac{6\sqrt{14}}{5}$
• B． $\frac{12\sqrt{14}}{5}$
• C． 2$\sqrt{7}$
• D． 4$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 求出双曲线的a，b，c，e，运用等差数列的中项性质，可得PF₂=$\frac{1}{2}$（c-a+c+a）=c，再由双曲线的焦半径公式可得x_P，代入双曲线的方程，求得P的纵坐标，再由三角形的面积公式即可得到所求距离．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{64}$-$\frac{{y}^{2}}{36}$=1的a=8，b=6，c=10，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$，
由双曲线C上一点P到右焦点F₂的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，
可得PF₂=$\frac{1}{2}$（c-a+c+a）=c，
即有P为双曲线的右支上的点，
运用双曲线的焦半径公式可得：
PF₂=ex_P-a=c，
即有x_P=$\frac{a+c}{e}$=$\frac{18}{\frac{5}{4}}$=$\frac{72}{5}$，
代入双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{64}$-$\frac{{y}^{2}}{36}$=1可得y_P=±$\frac{12\sqrt{14}}{5}$，
由三角形OPF₂为等腰三角形，可得：
点O到直线PF₂的距离即为P到x轴的距离，
即有点O到直线PF₂的距离为$\frac{12\sqrt{14}}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，注意运用双曲线的焦半径公式，以及等差数列的中项性质，等腰三角形的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．