Question

（本题满分15分）已知椭圆：（）和圆：，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为（）的动直线交椭圆于两点，交圆于两点（如图所示，点在轴上方）.当时，弦的长为.

（1）求圆与椭圆的方程；

（2）若成等差数列，求直线的方程.

 

Answer 1

（1）椭圆的方程为：，：；（2）直线的方程为：.

【解析】

试题分析：（1）求圆与椭圆的方程，其实只要求的值，而本身满足，只要再建立一个关于的等式即可求出的值，这可从直线被圆截得的弦长为考虑，运用垂径定理建立关于等式；（2）求直线的方程，因为直线已经经过，只要再求一点或斜率，即可得到方程，因为成等差数列，结合椭圆的定义，可求得的长，从而可求得的坐标，最终可求得直线的方程.

试题解析：（1）取的中点，连，由，，知，

，，即，从而，

椭圆的方程为：，：.

（2）设，，又的长成等差数列， ，

设，由解得，，：.

考点：直线与圆、直线与椭圆.