Question

已知函数f（x）=x-

1

x+1

，g（x）=x²-2ax+4，若?x₁∈[0，1]?x_∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先用导数研究出函数f（x）的单调性，得出其在区间[0，1]上的值域，f（x）的最小值是f（0）=-1．然后将题中“若?x₁∈[0，1]?x_∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂）”转化为f（x₁）的最小值大于或等于g（x₂）在区间[1，2]能够成立，说明g（x₂）≤-1在区间[1，2]上有解，注意到自变量的正数特征，变形为 x2+

5

x2

≤2a，在区间[1，2]上至少有一个实数解，即x2+

5

x2

在区间[1，2]上的最小值小于或等于2a，问题迎刃解．

解答：解：函数f（x）=x-

1

x+1

的导数f/  (x)=1+

1

(x+1)2

＞0，函数f（x）在[0，1]上为增函数，
因此若?x₁∈[0，1]，则f（0）=-1≤f（x₁）≤f（1）=

1

2

原问题转化为?x_2∈[1，2]，使f（0）=-1≥g（x₂），
即-1≥x₂²-2ax₂+4，在区间[1，2]上能够成立
变形为 x2+

5

x2

≤2a，在区间[1，2]上至少有一个实数解
而x2+

5

x2

∈[

9

2

，6]，所以

9

2

≤2a，可得a≥

9

4

故答案为[

9

4

，+∞）

点评：本题以函数为载体，既考查了不等式恒成立的问题，又考查了不等式解集非空的问题．采用变量分离避免讨论，解化运算，是解决本题的捷径．