Question

19．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，
（1）求证：$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}≤2\sqrt{2}$；
（2）求$\frac{2}{a}+\frac{9}{2b}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）先证正数x，y满足x+y≤$\sqrt{2（{x}^{2}+{y}^{2}）}$，类比基本不等式求最值可得；
（2）由题意可得$\frac{2}{a}+\frac{9}{2b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{a}+\frac{9}{2b}$）（a+b）=$\frac{1}{2}$（$\frac{13}{2}$+$\frac{2b}{a}$+$\frac{9a}{2b}$），由基本不等式可得．

解答 解：（1）先证正数x，y满足x+y≤$\sqrt{2（{x}^{2}+{y}^{2}）}$，
平方作差可得（x+y）²-2（x²+y²）=-（x-y）²≤0，
∴x+y≤$\sqrt{2（{x}^{2}+{y}^{2}）}$，当且仅当x=y时取等号，
∴由a＞0，b＞0，且a+b=2可得$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{b+1}$≤$\sqrt{2[（a+1）+（b+1）]}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当$\sqrt{a+1}$=$\sqrt{b+1}$即a=b=1时取等号；
（2）$\frac{2}{a}+\frac{9}{2b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{a}+\frac{9}{2b}$）（a+b）=$\frac{1}{2}$（$\frac{13}{2}$+$\frac{2b}{a}$+$\frac{9a}{2b}$）
≥$\frac{1}{2}$（$\frac{13}{2}$+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{9a}{2b}}$）=$\frac{25}{4}$
当且仅当$\frac{2b}{a}$=$\frac{9a}{2b}$即a=$\frac{4}{5}$且b=$\frac{6}{5}$时取等号，
∴$\frac{2}{a}+\frac{9}{2b}$的最小值为$\frac{25}{4}$

点评 本题考查基本不等式求最值，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．