Question

已知函数f（x）=f₁（x），f[f（x）]=f₂（x），它们的定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f₂（x）=x，则称f（x）是集合M的元素；
（1）判断函数f（x）=-x+1，g（x）=2x-1是否是集合M的元素；
（2）设函数，求证：不论a为何值，f（x）都是集合M的元素；
（3），求使f（x）＜1成立的x的范围．

Answer 1

（1）解：∵f[f（x）]=-（-x+1）+1=x，∴f（x）=-x+1∈M…（2分）
∵g[g（x）]=2（2x-1）-1=4x-3，∴g（x）=2x-1∉M…（4分）
（2）证明：
所以不论a为何值，f（x）都是集合M的元素 …（7分）
（3）解：∵，∴f₂（x）=f[f（x）]=x对定义域内的一切x恒成立
∴，解得（a+b）x²-（a²-b²）x=0对定义域内的一切x恒成立 …（9分）
∴a+b=0…（10分）
由f（x）＜1，得到，∴…（11分）
由a＜0，∴
又…（12分）
∴x的取值范围是或x＜a…（14分）
分析：（1）利用新定义，求出f[f（x）]、g[g（x）]，即可得到结论；
（2）利用新定义，求出f[f（x）]=x，即可说明不论a为何值，f（x）都是集合M的元素；
（3）利用新定义，确定a，b的关系，进而可解不等式．
点评：本题考查新定义，考查不等式的解法，考查学生的计算能力，属于中档题．