Question

15、已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且f（x）=x无实根，则下列命题中：
（1）方程f[f（x）]=x一定无实根；
（2）若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立；
（3）若a＜0，则必存在实数x₀，使得f[f（x₀）]＞x₀；
（4）若a+b+c=0，则不等式f[f（x）]＜x对一切x都成立．
其中正确命题的序号有

（1）（2）（4）

（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：f[f（x）]为一个复合函数，可以把方括号里的f（x）看作为一个未知数t，t的范围就是f（x）的值域．由此入手进行判断，能够得到正确答案．

解答：解：f[f（x）]为一个复合函数，可以把方括号里的f（x）看作为一个未知数t，t的范围就是f（x）的值域．
（1）：f[f（x）]可以看为f（t），而题中f（x）=x无实根，所以方程f[f（x）]=x无实根，故（1）成立；（2）：和第一个一样的想法，依然把方括号里的f（x）看作为一个未知数t，则外层为一个开口向上的2次函数，
且f（x）=x无实根，所以a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立，故（2）成立；（3）：和2问同理，只不过a符号变了下，故（3）错误；（4）：由条件得f（1）=0，把x=1代入里面得到了一个结论为c＜1的结论，
这就说明若使（4）成立必有c＜1，而满足大前提的c肯定是有可能取到小于1的数的，所以（4）对．
故答案为：（1）、（2）、（4）．

点评：本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘隐含条件．