Question

12．若实数a，b分别满足a³-3a²+5a-1=0，b³-3b²+5b-5=0，则a+b=2．

Answer 1

分析 由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数．将已知等式变形为（a-1）³+2（a-1）=-2，（b-1）³+2（b-1）=2，构造函数f（x）=x³+2x，f（x）是一个单调递增的奇函数，从而可求a+b的值．

解答 解：由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数．
将已知等式变形为（a-1）³+2（a-1）=-2，（b-1）³+2（b-1）=2，
构造函数f（x）=x³+2x，
∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数，
∵f′（x）=3x²+2＞0，
∴f（x）单调递增，
∴f（x）是一个单调递增的奇函数，
因为f（a-1）=-2，f（b-1）=2，
所以f（a-1）=-f（b-1）=f（1-b），
从而有a-1=1-b，a+b=2．
故答案为：2．

点评 本题以等式为载体，考查构造法的运用，考查函数的性质，解题的关键是根据已知的两个等式结构相似来构造函数，属于中档题．