Question

【题目】如图，将斜边长为的等腰直角沿斜边上的高折成直二面角，为中点.

（1）求二面角的余弦值；

（2）为线段上一动点，当直线与平面所成的角最大时，求三棱锥外接球的体积.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

(1)设为中点，连接得出平面，由平面几何可知，，则就是二面角的平面角，在中求解.
(2) 设直线与平面所成的角为,点到平面的距离为，则，由等体积法可得求得，当最小时，直线与平面所成的角的正弦值最大，此时所成角也最大，从而当为中点时，直线与平面所成的角最大，此时，可求出三棱锥外接球的体积.

解法一：（1）设为中点，连接.

∵为等腰直角三角形，

且二面角为直二面角，

∴平面

∴，，

由平面几何可知，，

∴，，

∴就是二面角的平面角，

在中，，，，

∴，

∴二面角的余弦值为.

（2）设直线与平面所成的角为，点到平面的距离为，

则，

在三棱锥中，，

由，求得，

∴当最小时，直线与平面所成的角的正弦值最大，此时所成角也最大，

∴当为中点时，直线与平面所成的角最大，此时.

由平面几何知识可知，和都是直角三角形，设为的中点，

则，

∴三棱锥外接球的半径为，

∴外接球的体积.

解法二：（1）∵为等腰直角三角形，且二面角为直二面角，

∴平面，

∴，

∴以为坐标原点，以所在直线为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系.

∵在平面图形中，是斜边为的等腰直角三角形，且为高的中点，

∴，，，，，

∴，，，

设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，

由，得，令，则

∴，

同理可求得，

∴，

∴二面角的余弦值为.

（2）如图，设，

可得，

∴，

又由（1）可知平面的法向量为，∴，

即直线与平面所成的角的正弦值为，

∵，

∴，当且仅当时，等号成立.

∴当为中点时，直线与平面所成的角最大，此时.

由平面几何知识可知，和都是直角三角形，设为的中点，

则，

∴三棱锥外接球的半径为，

∴外接球的体积.