【题目】已知函数
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若有两个零点,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)对函数求导,讨论当时,时,时,时,由导数大于0,可得增区间,由导数小于0,可得减区间;(Ⅱ)由(Ⅰ)的单调区间,对讨论,结合单调性和函数值的变化特点,即可得到所求范围.
(Ⅰ)由题,
(1)当时,故时,函数单调递减,时,函数单调递增;
(2)当时,故时,,函数单调递增,时,,函数单调递减,时,,函数单调递增;
(3)当时,恒成立,函数单调递增;
(4)当时,故时,函数单调递增,
时,函数单调递减,
时,函数单调递增;
(Ⅱ)当时,有唯一零点不符合题意;
由(Ⅰ)知:当时,故时,函数单调递减,时,函数单调递增,时,;时,,必有两个零点;
当时,故时,函数单调递增,
时,函数单调递减,时,函数单调递增,,函数至多有一个零点;
当时,函数单调递增,函数至多有一个零点;
当时,故时,函数单调递增,时,函数单调递减,时,函数单调递增,,函数至多有一个零点;
综上所述:当时,函数有两个零点.
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【题目】已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.
(1)求证:f(x)是R上的单调减函数.
(2)求f(x)在[-3,3]上的最小值.
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【题目】江苏省淮阴中学科技兴趣小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图,航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分,降落点为.观测点同时跟踪航天器,试问:当航天器在轴上方时,观测点,测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?(变轨指令发出时航天器立即变轨)。
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【题目】已知函数为奇函数,且相邻两对称轴间的距离为
(1)当时,求的单调递减区间;
(2)将函数的图象沿轴正方向向右平移个单位长度,再把横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数的图象,当时,求函数的值域.
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【题目】如图,在矩形ABCD和矩形ABEF中,,,矩形ABEF可沿AB任意翻折.
(1)求证:当点F,A,D不共线时,线段MN总平行于平面ADF.
(2)“不管怎样翻折矩形ABEF,线段MN总与线段FD平行”这个结论正确吗?如果正确,请证明;如果不正确,请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立,并给出理由.
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【题目】已知函数f(x)=+xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3.
(1)讨论函数h(x)=的单调性;
(2)如果对任意的s,t∈[,2],都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是.
(1)求的值;
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为,第二次取出的小球标号为.记“”为事件,求事件的概率.
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