【题目】已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.
(1)求证:f(x)是R上的单调减函数.
(2)求f(x)在[-3,3]上的最小值.
【答案】(1)详见解析(2)-2
【解析】
(1)本题中,需要证明的是函数的增减性,则需要回归定义,从定义出发,根据增减性采用合适的拼凑法来进行证明
(2)抽象函数函数值的求法需要通过合理赋值求得,需要考虑函数的增减性。
(1)证明:设x1,x2是任意的两个实数,且x1<x2,
则x2-x1>0,因为x>0时,f(x)<0,
所以f(x2-x1)<0,
又因为x2=(x2-x1)+x1,
所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]
=f(x2-x1)+f(x1),
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,
所以f(x2)<f(x1).
所以f(x)是R上的单调减函数.
(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数,
所以f(x)在[-3,3]上也是减函数,
所以f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3).
而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×=-2.
所以函数f(x)在[-3,3]上的最小值是-2.
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【题目】某支教队有8名老师,现欲从中随机选出2名老师参加志愿活动,
(1)若规定选出的至少有一名女老师,则共有18种不同的需安排方案,试求该支教队男、女老师的人数;
(2)在(1)的条件下,记为选出的2位老师中女老师的人数,写出
的分布列.
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【题目】在正方体上任意选择个顶点,然后将它们两两相连,则可能组成的几何图形为_________(写出所有正确结论的编号).
①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.
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【题目】设是椭圆
的四个顶点,菱形
的面积与其内切圆面积分别为
,
.椭圆
的内接
的重心(三条中线的交点)为坐标原点
.
(1)求椭圆的方程;
(2) 的面积是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.
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【题目】设f(x)="xln" x–ax2+(2a–1)x,aR.
(Ⅰ)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.
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