Question

【题目】如图，已知四棱锥，底面为矩形， 且侧面平面，侧面平面，为正三角形，

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

因为，所以平面，由线面平行的性质定理推出结果

解法一：过作交于，结合可得平面，过作交于，连接，所以即为直线与平面所成角，然后解三角形；

解法二：以的中点为原点，建立空间坐标系，设，设与面所成的角为，计算平面的一个法向量为，计算平面的一个法向量为，解得，代入求出结果

（1）因为，所以平面；

又因为平面且平面平面，由线面平行的性质定理知.

（2）过作交于，所以.因为侧面平面，侧面平面，所以平面，过作交于，连接，所以即为直线与平面所成角．

又因为，所以，于是在中，．

解法二：以的中点为原点，建立空间坐标系，设，则，，设与面所成的角为，由题意点在面的射影必在轴上，且由是边长为2的正三角形得，所以

，

设平面的一个法向量为，则

，解得，

因为 ，

设平面的一个法向量为，则

,解得，

，

所以，，设直线与平面所成角为，于是．