【题目】设为常数,函数
,给出以下结论:
(1)若,则
存在唯一零点
(2)若,则
(3)若有两个极值点
,则
其中正确结论的个数是( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
(1)先根据函数存在零点,得到方程
有实根,再令
,将问题转为函数
图像与直线
有交点即可,用导数的方法研究函数
单调性和最值,即可得出结论成立;
(2)根据(1)的结果,可判断当时,
在
上恒成立,从而可得
在
上恒成立,即可得出结论成立;
(3)先对函数求导,根据题意得到
,再将函数
有两极值点,转化为方程
有两不等式实根来处理,用导数的方法研究其单调性,和值域,进而可得出结论成立.
(1)若函数存在零点,只需方程
有实根,即方程
有实根,令
,则只需函数
图像与直线
有交点即可.
又,由
可得
;由
可得
;
所以函数在
上单调递增,在
上单调递减,
故,
因此,当时,直线
与
图像仅有一个交点,即原函数只有一个零点,所以(1)正确;
(2)由(1)可知,当时,
在
上恒成立,
即在
上恒成立,即
在
上恒成立;故(2)正确;
(3)因为,所以
,
若有两个极值点
,则
,所以
,
又由有两个极值点,可得方程
有两不等实根,即方程
有两不等式实根,令
,则
,
由得
;由
得
;
所以函数在
上单调递增,在
上单调递减,
所以,又当
时,
;当
时,
;
所以方程有两不等式实根,只需直线
与函数
的图像有两不同交点,故
;所以
,即(3)正确.
故选A
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【题目】某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程),被调查汽车的续驶里程全部介于
公里和
公里之间,将统计结果分成
组:
,
,
,
,
,绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值;
(2)求续驶里程在的车辆数;
(3)若从续驶里程在的车辆中随机抽取
辆车,求其中恰有一辆车的续驶里程在
内的概率.
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【题目】某公司想了解对某产品投入的宣传费用与该产品的营业额的影响.右图是以往公司对该产品的宣传费用 (单位:万元)和产品营业额
(单位:万元)的统计折线图.
(Ⅰ)根据折线图可以判断,可用线性回归模型拟合宣传费用与产品营业额
的关系,请用相关系数加以说明;
(Ⅱ)建立产品营业额关于宣传费用
的回归方程;
(Ⅲ)若某段时间内产品利润与宣传费
和营业额
的关系为
应投入宣传费多少万元才能使利润最大,并求最大利润. (计算结果保留两位小数)
参考数据:,
,
,
,
参考公式:相关系数,回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
,
.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知 为椭圆
的左焦点,且椭圆
过
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ) 是否存在平行四边形 ,同时满足下列两个条件:
①点在直线
上;②点
在椭圆
上且直线
的斜率等于1.如果存在,求出
点坐标;如果不存在,说明理由.
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【题目】从一堆产品正品与次品都多于2件
中任取2件,观察正品件数和次品件数,则下列说法:
“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”是互斥事件
“至少有1件正品”和“全是次品”是对立事件
“至少有1件正品”和“至少有1件次品”是互斥事件但不是对立事件
“至少有1件次品”和“全是正品”是互斥事件也是对立事件
其中正确的有______填序号
.
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【题目】根据以往的经验,某建筑工程施工期间的降水量(单位:
)对工期的影响如下表:
降水量 | ||||
工期延误天数 | 0 | 1 | 3 | 6 |
根据某气象站的资料,某调查小组抄录了该工程施工地某月前天的降水量的数据,绘制得到降水量的折线图,如下图所示.
(1)求这天的平均降水量;
(2)根据降水量的折线图,分别估计该工程施工延误天数的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某支教队有8名老师,现欲从中随机选出2名老师参加志愿活动,
(1)若规定选出的至少有一名女老师,则共有18种不同的需安排方案,试求该支教队男、女老师的人数;
(2)在(1)的条件下,记为选出的2位老师中女老师的人数,写出
的分布列.
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