【题目】设是椭圆
的四个顶点,菱形
的面积与其内切圆面积分别为
,
.椭圆
的内接
的重心(三条中线的交点)为坐标原点
.
(1)求椭圆的方程;
(2) 的面积是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:
(I)由内切圆面积得半径,即为原点到直线PQ的距离,可得,又四边形PQRS的面积为
,从而可得
,解得
得椭圆方程;
(II)可先求特殊情形下的三角形面积,即斜率不存在时,C为椭圆的左(右)顶点,求得面积为
;当
斜率存在时,设方程为
,代入椭圆方程,并设
,由韦达定理得
,利用O是
的重心,得
表示出C点坐标,把C点坐标代入椭圆方程求得
的关系式为
,由圆锥曲线中的弦长公式求得弦长
,求出C点到直线AB的距离,从而得三角形ABC的面积,代入刚才的关系式可得
,因此结论为存在.
试题解析:
(Ⅰ)∵菱形的面积与其内切圆面积分别为
,
∴,
,
联立解得,
,
故所求椭圆的方程为
.
(Ⅱ)当直线斜率不存在时,
∵为
的重心,∴
为椭圆的左、右顶点,不妨设
,
则直线的方程为
,可得
,
到直线
的距离
,
∴.
当直线的斜率存在时,设直线
方程为:
,
,
.
联立,得
,
则
.
即,
,
,
∴.
∵为
的重心,∴
,
∵点在椭圆
上,故有
,
化简得.
∴
.
又点到直线
的距离
(
是原点到
距离的3倍得到).
∴
.
综上可得, 的面积为定值
.
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【题目】从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位: ) 组成一个样本,且将纤维长度超过315
的棉花定为一级棉花.设计了如下茎叶图:
(1)根据以上茎叶图,对甲、乙两种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论(不必计算);
(2)从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根,求其中恰有3根一级棉花的概率;
(3)用样本估计总体,将样本频率视为概率,现从甲、乙两种棉花中各随机抽取1根,求其中一级棉花根数X的分布列及数学期望
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【题目】已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.
(1)求证:f(x)是R上的单调减函数.
(2)求f(x)在[-3,3]上的最小值.
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【题目】某校社团活动开展有声有色,极大地推动了学生的全面发展,深受学生欢迎,每届高一新生都踊跃报名加入.现已知高一某班有6名男同学和4名女同学参加心理社,在这10名同学中,4名同学初中毕业于同一所学校,其余6名同学初中毕业于其他6所不同的学校.现从这10名同学中随机选取4名同学代表社团参加校际交流(每名同学被选到的可能性相同).
(Ⅰ)求选出的4名同学初中毕业于不同学校的概率;
(Ⅱ)设为选出的4名同学中女同学的人数,求随机变量
的分布列和数学期望.
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【题目】如图,一辆汽车从市出发沿海岸一条笔直公路以每小时
的速度向东均速行驶,汽车开动时,在
市南偏东方向距
市
且与海岸距离为
的海上
处有一快艇与汽车同时出发,要把一份稿件交给这汽车的司机.
(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中?
(2)在(1)的条件下,求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角.
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【题目】扎花灯是中国一门传统手艺,逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯。现有一个花灯,它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着它们自身的对称轴旋转而来(如图),花灯的下顶点为,上顶点为
,
米,在它的内部放有一个半径为
米的球形灯泡,球心
在轴
上,且
米。若球形灯泡的球心
到四周轮廓上的点的最近距离是在下顶点
处取到。建立适当的坐标系可得抛物线方程为
,则实数
的取值范围是_______
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