Question

【题目】已知,.

（1）若对任意的实数，恒有，求实数的取值范围；

（2）当时，求证：方程恒有两解.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)详见解析．

【解析】试题分析：（Ⅰ）转化为关于的二次不等式，进而得，令，利用导数求解函数的单调性与最值，即可求解实数的取值范围；

（Ⅱ）方程化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，得到在和各有一个零点，即可得方程恒有两解．

试题解析：

（Ⅰ）要使f(x)＜g(x)恒成立，即使成立，

整理成关于a的二次不等式，

只要保证△＜0，　　　　

，

整理为，　　（i） 　

下面探究（i）式成立的条件，令，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，x=1时有最小值，，，．

实数b 的取值范围是（－1,2）．　

（Ⅱ）方程化为，

令，，　

在（0，＋∞）上单调递增，，，

存在使，即，，在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值．　

，

，＜0，　

，，在和各有一个零点，故方程恒有两解．