Question

【题目】已知中心为坐标原点、焦点在坐标轴上的椭圆经过点和点，直线：与椭圆交于不同的，两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆上存在点，使得四边形恰好为平行四边形，求直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值以及此时，的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），，.

【解析】

（1）利用待定系数法将两点代入椭圆方程即可求得结果

（2）由于四边形为平行四边形，则，因为点在椭圆上，解得与的关系，根据直线方程得到三角形面积，利用均值不等式求得最值

（1）由题意可设椭圆的方程为（，，且）.

解得

所以椭圆的标准方程为.

（2）由题意可设，.

联立

整理得.

.

根据韦达定理得

因为四边形恰好为平行四边形，

所以.

所以，

.

因为点在椭圆上，所以，

整理得，即.

在直线：中，由于直线与坐标轴围成三角形，则，.

令，得，令，得.

所以直线与坐标轴围成的三角形面积为

，

当且仅当，时，取等号，此时.

所以直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值为.

此时，，.