Question

【题目】已知数列的前项和为,满足 (),数列满足 (),且

（1）证明数列为等差数列,并求数列和的通项公式;

（2）若,求数列的前项和;

（3）若,数列的前项和为,对任意的,都有,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）；（3）

【解析】试题分析：（1）两边同除以，得，可求得。用公式，统一成，可求得。（2）由（1），代入得 ，由并项求和可得。（3）由（1）由错位相减法可求得，代入可求。

试题解析：（1）由两边同除以，

得，

从而数列为首项，公差的等差数列，所以，

数列的通项公式为．

当时， ，所以．

当时， ， ，

两式相减得，又，所以，

从而数列为首项，公比的等比数列，

从而数列的通项公式为．

(2)

=

（3）由（1）得，

，

所以，两式相减得

所以，

由（1）得，

因为对 ，都有，即恒成立，

所以恒成立，

记，所以，

因为 ，从而数列为递增数列

所以当时， 取最小值，于是．