【题目】已知函数f(x)=+xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3.
(1)讨论函数h(x)=的单调性;
(2)如果对任意的s,t∈[,2],都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】
试题分析:(1)的定义域为
,
,当
时,
,当
时,
可得
,判断
在
上的符号情况,即得其单调区间;(2)如果对任意的
,都有
成立,则
,可先求出
,得到
再
上恒成立,构造函数
,求出
的最大值,即得求实数
的取值范围.
试题解析:(1)h(x)==
+lnx,h′(x)=
,
①a≤0,h′(x)≥0,函数h(x)在(0,+∞)上单调递增
②a>0时,h'(x)>0,则x∈(,+∞),函数h(x)的单调递增区间为(
,+∞),
h'(x)<0,则x∈(0,),函数h(x)的单调递减区间为(0,
).
(2)g(x)=x3﹣x2﹣3,g′(x)=3x(x﹣),
由上表可知,g(x)在x=2处取得最大值,即g(x)max=g(2)=1
所以当x∈[,2]时,f(x)=
+xlnx≥1恒成立,等价于a≥x﹣x2lnx恒成立,
记u(x)=x﹣x2lnx,所以a≥u(x)max,u′(x)=1﹣x﹣2xlnx,可知u′(1)=0,
当x∈(,1)时,1﹣x>0,2xlnx<0,则u′(x)>0,∴u(x)在x∈(
,2)上单调递增;
当x∈(1,2)时,1﹣x<0,2xlnx>0,则u′(x)<0,∴u(x)在(1,2)上单调递减;
故当x=1时,函数u(x)在区间[,2],上取得最大值u(1)=1,
所以a≥1,故实数a的取值范围是[1,+∞).
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【题目】设f(x)="xln" x–ax2+(2a–1)x,aR.
(Ⅰ)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.
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【题目】在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为,直线l的参数方程为
(t为参数),直线l与圆C交于A,B两点,P是圆C上不同于A,B的任意一点.
(1)求圆心的极坐标;
(2)求△PAB面积的最大值.
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【题目】程大位是明代著名数学家,他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作,它问世后不久便风行宇内,成为明清之际研习数学者必读的教材,而且传到朝鲜、日本及东南亚地区,对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是:“今有三角果一垛,底阔每面七个,问该若干?”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,求得该垛果子的总数为( )
A. 120 B. 84 C. 56 D. 28
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【题目】已知点,
是函数
的图像上任意不同的两点,依据图像可知,线段
总是位于
两点之间函数图像的上方,因此有结论
成立,运用类比的思想方法可知,若点
,
是函数
的图像上任意不同的两点,则类似地有_________成立.
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【题目】如下图,梯形中,
∥
,
,
,
,将
沿对角线
折起.设折起后点
的位置为
,并且平面
平面
.给出下面四个命题:
①;②三棱锥
的体积为
;③
平面
;
④平面平面
.其中正确命题的序号是( )
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
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【题目】如图,四棱锥中,
,
//
,
,
为正三角形. 若
,且
与底面
所成角的正切值为
.
(1)证明:平面平面
;
(2)是线段
上一点,记
(
),是否存在实数
,使二面角
的余弦值为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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