【题目】如图,四棱锥中,
,
//
,
,
为正三角形. 若
,且
与底面
所成角的正切值为
.
(1)证明:平面平面
;
(2)是线段
上一点,记
(
),是否存在实数
,使二面角
的余弦值为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
证法一:先计算出
,结合已知得
,由勾股定理得
,又
,可以证得
平面
,平面
平面
证法二:设在平面
内的射影为
,连接
,结合已知条件得
,可求得
,
,四边形
是正方形,即可证得垂直关系
,
,
两两垂直,以它们所在直线分别为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系,求出平面
的法向量,平面
的法向量,继而求出
的值
(1)证法一:,且
,
,
又为正三角形,所以
,
又,
,所以
,
又,
//
,
,
,
所以平面
,又因为
平面
,
所以平面平面
.
证法二: 设在平面
内的射影为
,连接
,
则即为
在平面
内的射影,故
即为
与底面所成的角,因为
,所以
而,
,所以
,
又为正三角形,所以
,所以
由,
,得
,所以
,从而
是正方形,
由,
得:
平面
,于是平面
平面
.
(2)由(1)可知,,
,
两两垂直,以它们所在直线分别为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系,则
,
,
,
,
,
由可得
,所以,
,
,
设平面的法向量为
,
则,即
,令
,得
,
,
所以,显然,
是平面
的法向量.
设二面角为
,
则,
依题意有,解得
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=+xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3.
(1)讨论函数h(x)=的单调性;
(2)如果对任意的s,t∈[,2],都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是
.
(1)求的值;
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为,第二次取出的小球标号为
.记“
”为事件
,求事件
的概率.
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【题目】已知双曲线具有性质:若
、
是双曲线左、右顶点,
为双曲线上一点,且
在第一象限.记直线
,
的斜率分别为
,
,那么
与
之积是与点
位置无关的定值.
(1)试对椭圆,类比写出类似的性质(不改变原有命题的字母次序),并加以证明.
(2)若椭圆的左焦点
,右准线为
,在(1)的条件下,当
取得最小值时,求
的垂心
到
轴的距离.
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【题目】已知椭圆的一个焦点与抛物线
的焦点相同,A为椭圆C的右顶点,以A为圆心的圆与直线
相交于P,
两点,且
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程和圆A的方程;
(Ⅱ)不过原点的直线与椭圆C交于M、N两点,已知OM,直线
,ON的斜率
成等比数列,记以OM、ON为直径的圆的面积分别为S1、S2,试探究
的值是否为定值,若是,求出此值;若不是,说明理由.
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【题目】某校举行演讲比赛,10位评委对两位选手的评分如下:
甲 7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.9
乙7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5
选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后,剩下8个评分的平均数.那么,这两个选手的最后得分是多少?若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分,两位选手的排名有变化吗?你认为哪种评分办法更好?为什么?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市化工厂三个车间共有工人1 000名,各车间男、女工人数如下表:
第一车间 | 第二车间 | 第三车间 | |
女工 | 173 | 100 | y |
男工 | 177 | x | z |
已知在全厂工人中随机抽取1名,抽到第二车间男工的可能性是0. 15.
(1)求x的值;
(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人,问应在第三车间抽取多少名?
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