Question

【题目】如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱。

（1）证明FO∥平面CDE；

（2）设BC=CD，证明EO⊥平面CDE。

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；

【解析】

（1）利用中点做辅助线，构造出平行四边形即可证明线面平行；（2）根据所给条件构造出菱形，再根据两个对应的线段垂直关系即可得到线面垂直.

证明：（1）取CD中点M，连结OM，连结EM，

在矩形ABCD中，又,

则,于是四边形EFOM为平行四边形。

∴FO∥EM.

又∵FO平面CDE，且EM平面CDE，

∴FO∥平面CDE。

（2）连结FM,

由（1）和已知条件，在等边ΔCDE中，CM=DM,EM⊥CD

且

因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM.

∵CD⊥OM,CD⊥EM

∴CD⊥平面EOM，

从而CD⊥EO.

而FMCD=M,所以EO⊥平面CDF.