Question

【题目】已知椭圆： 的离心率，过点、分别作两平行直线、， 与椭圆相交于、两点， 与椭圆相交于、两点，且当直线过右焦点和上顶点时，四边形的面积为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若四边形是菱形，求正数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（1）由题意布列a，b的方程组，解之即可；（2）依题意可以分别设的方程为： ，由椭圆的对称性得： ，所以是平行四边形，所以是菱形，等价于，即，联立方程，由韦达定理及垂直关系可得： ，结合条件建立m，k的不等关系，即可得到正数的取值范围.

试题解析：

（Ⅰ），椭圆方程可以化为，

直线过右焦点和上顶点时，方程可以设为，联立得：

，所以四边形的面积为，

所以椭圆方程为： ；

（Ⅱ）依题意可以分别设的方程为： ，由椭圆的对称性得： ，所以是平行四边形，所以是菱形，等价于，即，

将直线的方程代入椭圆方程得到： ，

由，

设，由，

得到： ，

从而： ，化简得： ，

所以解得，

所以正数的取值范围是．