Question

已知向量

m

=（cosx，-sinx），

n

=（cosx，sinx-2

3

cosx），x∈R，令f（x）=

m

•

n

，
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0，

π

4

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理后，利用了三角函数图象和性质求得其单调区间．
（2）根据x的范围，利用三角函数图象和性质求得函数的在此范围上最大和最小值，得到函数在[0，

π

4

]的值域．

解答： 解：（1）f（x）=

m

•

n

=cos2x-sinx(sinx-2

3

cosx)=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)，
∵函数y=sinx的单调增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z
∴2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
∴kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z
（2）当x∈[0，

π

4

]时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
∴1≤2sin(2x+

π

6

)≤2
∴函数f（x）的值域为[1，2]．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质．要求对三角函数的图象能熟练记忆，利用图象来解决三角函数的问题．