Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∠ACB=90°，BB1=3，AC=BC=2，D，E分别为AB，BC的中点，F为BB1上一点，且 = ．
（1）求证：平面CDF⊥平面A1C1E；
（2）求二面角C1﹣CD﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以C为原点，分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系，

∵BB1=3，AC=BC=2，D，E分别为AB，BC的中点， = ．

∴C（0，0，0），D（1，1，0），F（0，2， ），E（0，1，0），A1（2，0，3），C1（0，0，3）．

， ， ．

设平面CDF的一个法向量为 ，

则 ，取y=﹣1，得 ；

再平面A1C1E的一个法向量为 ，

则 ，取z=1，得 ．

∵ ，

∴ ，则平面CDF⊥平面A1C1E；

（2）解：由（1）知，平面CDF的一个法向量 ，

又平面C1CD的一个法向量 ，

∴cos＜ ＞= = ，

∵二面角C1﹣CD﹣F为锐角，

∴二面角C1﹣CD﹣F的余弦值为 ．

【解析】（1）以C为原点，分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系，再由已知求出C，D，F，E，A1 ， C1的坐标，得到平面CDF与平面A1C1E的一个法向量，由两法向量垂直可得平面CDF⊥平面A1C1E；（2）由（1）知，平面CDF的一个法向量 ，又平面C1CD的一个法向量 ，由两法向量所成角的余弦值求得二面角C1﹣CD﹣F的大小．
【考点精析】关于本题考查的平面与平面垂直的判定，需要了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．