Question

【题目】如图所示的多面体中，ABCD是平行四边形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，∠ABD= ，AB=2AD．
（Ⅰ）求证：平面BDEF⊥平面ADE；
（Ⅱ）若ED=BD，求AF与平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：设AD=a，AD=2a，∠ABD= ， ∴cos∠ABD= = ，解得BD= a，
∴BD2+AD2=AB2 ， 即BD⊥AD．
∵DE⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
∴DE⊥BD，又AD∩DE=D，AD平面ADE，DE平面ADE，
∴BD⊥平面ADE，又BD平面BDEF，
∴平面BDEF⊥平面ADE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）AD⊥BD，BD= AD，
以D为坐标原点，以射线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示：
设AD=1，则A（1，0，0）， ， ， ．
=（﹣1，0， ）， =（﹣2， ，0）， ，
设平面AEC的法向量为 ，则 ，∴ ，
令z=1，得 ，
∴ = = ．
所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）利用余弦定理得出BD= AD，由勾股定理即可得出AD⊥BD，再由DE⊥平面ABCD得出DE⊥BD，从而有BD⊥ADE，故平面BDEF⊥平面ADE；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面AEC的法向量 ，计算 与 的夹角即可得出线面角的大小．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．