Question

9．以下5个命题：
①对于相关系r|r|越接近1，则线性相关程度越强；
②空间直角坐标系中，（-2，1，9）关于x轴对称的点的坐标（-2，1，9）；
③某人连续投篮投3次，设事件A：至少有一个命中，事件B：都命中，那么事件A与事件B是互斥且不对立的事件；
④推理“半径为r圆的面积S=πr²，则单位圆的面S=π”是类比推理；
⑤定义运算$[\begin{array}{l}{a}&{c}\\{b}&{d}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{ax+cy}\\{bx+dy}\end{array}]$，称$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{a}&{c}\\{b}&{d}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$ 为将点（x，y）映到点（x′，y′）的一次变换．若$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2}&{-1}\\{p}&{q}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$把直线y=x上的各点映到这点本身，而把直y=3x上的各点映到这点关于原点对称的点，p=3，q=-2；
其中的真命题是①⑤．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 ①根据线性回归分析中相关系数的定义；②根据空间直角坐标系的坐标对称判断可知；③利用互斥事件的概念判断；④根据类比推理的概念判断；⑤由于点（x，y），（x′，y′）都在直线y=x上，得到参数的方程，直线y=3x上的点关于原点对称的点是原直线y=3x，同理可得参数的另一个方程，解方程组，求出参数的值，得到本题结论．

解答 解：对于①线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关程度越强，③正确，
对于②空间直角坐标系中，（-2，1，9）关于x轴对称的点的坐标（-2，-1，-9）；故②错．
对于③事件A：至少有一个命中，事件B：都命中，不是互斥事件；故③错
对于④由类比推理的定义知推理“半径为r圆的面积S=πr²，则单位圆的面S=π”不是类比推理；故④错．
对于⑤$|\begin{array}{l}{x'}\\{y'}\end{array}|=|\begin{array}{l}{2}&{-1}\\{p}&{q}\end{array}||\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}|$
∴$\left\{\begin{array}{l}{x'=2x-y}\\{y'=px+qy}\end{array}\right.$．
∵点（x，y），（x′，y′）都在直线y=x上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=y}\\{2x-y=px+qy}\end{array}\right.$，
∴p+q=1．
∵直线y=3x上的点关于原点对称的点是原直线y=3x，
∴点（x，y），（x′，y′）都在直线y=3x上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{px+qy=3（2x-y）}\end{array}\right.$，
∴p+3q=-3．
∴q=-2，p=3．故⑤正确．
故答案为：①⑤

点评 本题考查相关系数，考查相关系数，考查直角坐标系的点的对称，考查互斥事件和类比推理的定义以及矩阵的变换，本题是一个综合题目．属于中档题．