Question

8．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上是增函数，且f（3）=0，则使得f（x+1）＞0的x的取值范围是（　　）

• A． （-2，4）
• B． （-3，3）
• C． （-4，2）
• D． （-∞，-3）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 由偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，以及偶函数的定义，结合条件将不等式进行等价转化，再求出实数x的取值范围．

解答 解：∵函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（-∞，0]上是增函数，
∴函数y=f（x）在[0，+∞上是减函数，
∵f（3）=0，∴f（x+1）＞0=f（3），
由偶函数将f（x+1）＞f（3）等价于f（|x+1|）＞f（3），
∴|x+1|＜3，解得-4＜x＜2，
即不等式的解集是（-4，2），
故选：C．

点评 本题考查了偶函数的定义，以及在关于原点对称的区间上单调性的关系，考查转化思想，属于基础题．