Question

19．对于平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，给出下列四个命题：
命题p₁：若$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$＞0，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角；
命题p₂：“|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|”是“$\overrightarrow{a}$$∥\overrightarrow{b}$”的充要条件；
命题p₃：当$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为非零向量时，“$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=0$”是“|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||”的必要不充分条件；
命题p₄：若|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{b}$|，则|$2\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$$+2\overrightarrow{b}$|．
其中的真命题是（　　）

• A． p₁，p₃
• B． p₂，p₄
• C． p₁，p₂
• D． p₃，p₄

Answer 1

分析 根据平面向量的定义式$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cosθ进行逐项分析判断．

解答 解：（1）当$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$同向时，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}＞0$，显然命题p₁错误；
（2）若|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|，则cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=1或-1．∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$方向相同或相反，即$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，
若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，则|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞|=1，∴|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞|=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|．
∴“|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|”是“$\overrightarrow{a}$$∥\overrightarrow{b}$”的充要条件，故命题p₂正确．
（3）当$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为非零向量时，若$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，则|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|≠0，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=0，∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||．
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=0$”是“|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||”的充分条件，故命题p₃错误．
（4）若|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{b}$|，则${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$，即${\overrightarrow{{a}^{\;}}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0．∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}{\overrightarrow{a}}^{2}$．
∴（2$\overrightarrow{b}$）²-（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$）²=-${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$≥0，
∴（2$\overrightarrow{b}$）²≥（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$）²，即|$2\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$$+2\overrightarrow{b}$|．故命题p₄正确．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，逻辑关系推理，属于中档题．