【题目】已知函数
，
，
．
(Ⅰ)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(Ⅱ)求
的单调区间；
(Ⅲ)设
，若对于任意
，总存在
，使得
成立，求
的取值范围．
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)见解析； (Ⅲ)
.
【解析】
(Ⅰ)求解出点
，再利用导数求出切线斜率，从而得切线方程；(Ⅱ)求导后，分别在
、
和
三个范围中讨论导函数的符号，即可得到原函数的单调性；(Ⅲ)将问题转化为
在
上的值域是
在上的值域的子集，利用导数分别求解出两个函数的值域，从而构造不等式，解出取值范围.
(Ⅰ)当
时，
，所以
所以
所以曲线
在
处的切线方程为
，即
(Ⅱ)
的定义域是
，
令
，得
①当时，
，所以函数的单调增区间是
②当时，
变化如下：
|
|
|
|
|
|
|
| + |
| - | - |
| + |
| ↗ | 极大值 | ↘ | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以函数的单调增区间是
，单调减区间是
③当时，变化如下：
|
|
|
|
|
|
|
| + |
| - | - |
| + |
| ↗ | 极大值 | ↘ | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以函数的单调增区间是
，单调减区间是
(Ⅲ)因为
，所以
当时，
所以
在
上恒成立，所以在上单调递增
所以在上的最小值是
，最大值是
即当
时，的取值范围为
由(Ⅱ)知，当
时，
，在
上单调递减，在
上单调递增
因为
，所以不合题意
当
时，
，在上单调递减
所以在上的最大值为
，最小值为
所以当时，的取值范围为
“对于任意
，总存在
，使得
成立”等价于
即
，解得
所以
的取值范围为
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行，吸引过来58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑。某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入；该企业连续6年来得科技投入
（百万元）与收益
（百万元）的数据统计如下：
根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线
的周围，据此他对数据进行了一些初步处理，如下表：
其中
，
．
（1）（
）请根据表中数据，建立关于的回归方程（保留一位小数）；
（
）根据所建立回归方程，若该企业想在下一年的收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少（其中
）？
（2）乙认为样本点分布在二次曲线
的周围，并计算得回归方程为
，以及该回归模型的相关指数
，试比较甲乙两位员工所建立的模型，谁的拟合效果更好．
附：对于一组数据
，
，……
，其回归直线方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
，相关指数：
．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】函数y=f（x），x∈[1，+∞），数列{an}满足
，
①函数f（x）是增函数；
②数列{an}是递增数列．
写出一个满足①的函数f（x）的解析式______．
写出一个满足②但不满足①的函数f（x）的解析式______．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在四棱锥
中，
平面
，四边形是菱形，
，
，且
交于点
，
是
上任意一点.
（1）求证
；
（2）已知二面角
的余弦值为
，若为的中点，求
与平面
所成角的正弦值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某种物质在时刻
的浓度
与
的函数关系为
（
为常数）.在
和
测得该物质的浓度分别为
和
,那么在
时,该物质的浓度为___________
;若该物质的浓度小于
,则最小的整数的值为___________.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、华、一”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“华”“一”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第四次停止的概率．利用计算机随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“美、丽、华、一”这四个字，以每四个随机数为一组，表示取球四次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
2323 3211 2303 1233 0211 1322 2201 2213 0012 1231
2312 1300 2331 0312 1223 1031 3020 3223 3301 3212
由此可以估计，恰好第四次就停止的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
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