Question

用长为18的钢条围成一个长方体形状的框架，设长方体的宽为x，长为2x，其体积为y
（1）求y关于x的函数解析式，并指出其定义域；
（2）求x取何值时，长方体的体积最大？最大体积是多少？

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）由长方体的宽和长，求出高，从而求出它的体积以及定义域；
（2）利用导数，求出体积函数y的最大值以及此时对应的宽是多少．

解答： 解：（1）∵长方体的宽为x，长为2x，
∴高为

1

4

（18-4x-4×2x）=

1

2

（9-6x）（0＜x＜

3

2

）；
∴它的体积为y=2x•x•

1

2

（9-6x）=-6x³+9x²，定义域是（0，

3

2

）；
（2）∵y=-6x³+9x²，（其中0＜x＜

3

2

），
求导数，得y′=-18x²+18x，
令y′=0，解得x=0，或x=1；
∴当0＜x＜1时，y′＞0，函数y是增函数，
当1＜x＜

3

2

时，y′＜0，函数y是减函数；
∴当x=1时，函数y取得最大值，是y_max=-6×1³+9×1²=3．
即宽为1时，长方体的体积最大，最大体积是3．

点评：本题考查了利用导数判定函数的单调性与求最值的问题，解题时应根据题意求出函数的解析式，再利用导数求函数的最值，是基础题．