Question

已知数列{a_n}，a₁=2，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2）
（1）求证：{

an

2n

}为等差数列；
（2）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得

an

2n

=

2an-1

2n

+1，

a1

2

=1，由此能证明{

an

2n

}是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由

an

2n

=1+（n-1）×1=n，得an=n•2n．由此利用错位相减法能{a_n}的前n项和S_n．

解答： （1）证明：∵a₁=2，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2），
∴

an

2n

=

2an-1

2n

+1，∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，
∵

a1

2

=1，
∴{

an

2n

}是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）解：由（1）得

an

2n

=1+（n-1）×1=n，
∴an=n•2n．
∴Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．