Question

已知a_n=n²+n，b_n=（-1）^n-1，（n∈N^*），设c_n=

(2n+1)bn

an

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：T_2n＜1．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由c_n=（-1）^n-1•

2n+1

n(n+1)

，得到c_2n-1+c_2n=

1

2n-1

-

1

2n+1

，由此利用裂项求和法能证明T_2n＜1．

解答： 证明：a_n=n²+n，b_n=（-1）^n-1，（n∈N^*），
∴c_n=

(2n+1)bn

an

=（-1）^n-1•

2n+1

n(n+1)

，
∴c_2n-1+c_2n=

4n-1

2n(2n-1)

-

4n+1

2n(2n+1)

=

(4n-1)(2n+1)-(4n+1)(2n-1)

2n(2n-1)(2n+1)

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴T_2n═（c₁+c₂）+（c₃+c₄）+…+（c_2n-1+c_2n）
=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

＜1．
∴T_2n＜1．

点评：本题考查考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．