Question

已知数列{a_n}满足a₁=0，a_n+1-a_n=（1-a_n+1）（1-a_n）．
（1）令c_n=

1

1-an

，证明：数列{c_n}是等差数列，并求出{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=

1- an+1

n

，其前n项和为S_n，证明：S_n＜1．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得c_n+1-c_n=

1

1-an+1

-

1

1-an

=

1-an-(1-an+1)

(1-an+1)(1-an)

=1，又c1=

1

1-a1

=1，由此能证明数列{c_n}是首项为1，公差为1的等差数列，并能求出a_n=1-

1

n

．
（2）b_n=

1- an+1

n

=

1- n n+1

n

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能证明S_n＜1．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}满足a₁=0，a_n+1-a_n=（1-a_n+1）（1-a_n），
c_n=

1

1-an

，
∴c_n+1-c_n=

1

1-an+1

-

1

1-an

=

1-an-(1-an+1)

(1-an+1)(1-an)

=

an+1-an

an+1-an

=1，
又c1=

1

1-a1

=1，
∴数列{c_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
∴c_n=

1

1-an

=1+n-1=n，
∴1-a_n=

1

n

，∴a_n=1-

1

n

．
（2）证明：∵b_n=

1- an+1

n

=

1- 1- 1 n+1

n

=

1- n n+1

n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

＜1，
∴S_n＜1．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要注意裂项求和法的合理运用．