Question

在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为

x=2cosα y=sinα

（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ-

π

4

）=2

2

（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程．
（Ⅱ）设点P（2cosα，sinα），求得点P到直线l距离d=

| 5 sin(α+β)-4|

2

，可得d的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ-

π

4

）=2

2

，即 ρcosθ+ρsinθ=4，
化为直角坐标方程为 x+y-4=0．
（Ⅱ）设点P（2cosα，sinα），点P到直线l距离d=

|2cosα+sinα-4|

2

=

| 5 sin(α+β)-4|

2

，
其中，sinβ=

2

5

，cosβ=

1

5

．
故当sin（α+β）=-1时，d取得最大值为

5 +4

2

=

10

2

+2

2

．

点评：本题主要考查把极坐标化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的值域，属于基础题．